Calculadora Bhaskara (Equação do 2º Grau)
Resolva ax² + bx + c = 0 com análise completa do discriminante (Δ). Retorna raízes reais, raízes complexas, vértice da parábola e passo a passo para uso escolar/vestibular.
Baseado em 3 referências↓Discriminante (Δ): Δ = 1
Δ > 0 → duas raízes reais distintas
Passo a passo (Bhaskara)
- Discriminante Δ = b² − 4ac = (-5)² − 4·(1)·(6) = 1
- Δ > 0 → duas raízes reais distintas
- x = (−b ± √Δ) / 2a = (5 ± √1) / 2 = (5 ± 1) / 2
- x₁ = 2, x₂ = 3
Vértice da parábola
(2.5, -0.25)
Intercepto Y
y = 6
A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 via expressão fechada: x = (−b ± √Δ) / 2a, onde Δ = b² − 4ac é o discriminante. O discriminante diz, antes de resolver, que tipo de solução esperar: Δ > 0 significa duas raízes reais distintas (a parábola cruza o eixo x em dois pontos), Δ = 0 significa uma raiz real dupla (a parábola é tangente ao eixo x), Δ < 0 significa duas raízes complexas conjugadas (a parábola não toca o eixo x).
Matéria escolar formalizada no Brasil ("fórmula de Bhaskara") e item certo em todo vestibular (ENEM, FUVEST, UNICAMP). A calc retorna passo a passo para você mostrar a resolução + as coordenadas do vértice (h, k) da parábola para contexto gráfico, já que muitos problemas pedem forma canônica/vértice junto com as raízes.
O discriminante decide o caso
Discriminante Δ = b² − 4ac. Calcule isto primeiro. O sinal diz tudo:
Δ > 0 → duas raízes reais distintas. x₁ = (−b − √Δ) / 2a, x₂ = (−b + √Δ) / 2a. Parábola cruza o eixo x em dois pontos (as raízes).
Δ = 0 → uma raiz real dupla. x = −b / 2a. Parábola tangencia o eixo x naquele único ponto.
Δ < 0 → duas raízes complexas conjugadas. x = (−b ± i·√(−Δ)) / 2a. Parábola não cruza o eixo x. Raízes vêm em pares conjugados porque i² = −1 — partes imaginárias têm sinais opostos.
Vértice (h, k): o extremo da parábola. h = −b / 2a (mesma fórmula da raiz dupla). k = c − b² / 4a (valor de y em h). Para gráfico ou forma canônica: y = a(x − h)² + k.
Exemplos práticos
Δ > 0: x² − 5x + 6 = 0
Cenário: a=1, b=-5, c=6.
Δ = 25 − 24 = 1 (positivo). x = (5 ± 1) / 2 = **{2, 3}**. Vértice (2,5; -0,25).
Aprendizado: Duas raízes reais distintas. Forma fatorada: (x − 2)(x − 3) = 0. Maioria dos problemas escolares é deste caso.
Δ = 0: x² − 4x + 4 = 0
Cenário: a=1, b=-4, c=4.
Δ = 16 − 16 = 0. x = 4 / 2 = **2** (raiz dupla). Vértice (2, 0).
Aprendizado: Quadrado perfeito: (x − 2)² = 0. A parábola tangencia o eixo x em x=2.
Δ < 0: x² + x + 1 = 0
Cenário: a=1, b=1, c=1.
Δ = 1 − 4 = -3 (negativo). x = (-1 ± i·√3) / 2 = **-0,5 ± 0,866i**. Vértice (-0,5; 0,75).
Aprendizado: Par complexo conjugado. A parábola não cruza o eixo x (vértice acima dele).
Vértice + raízes: 2x² − 8x + 6
Cenário: a=2, b=-8, c=6. Achar raízes e vértice.
Δ = 64 − 48 = 16. x = (8 ± 4) / 4 = **{1, 3}**. Vértice h = 8/4 = 2, k = 6 − 64/8 = -2. Vértice: (2, -2).
Aprendizado: Forma canônica y = 2(x − 2)² − 2 — útil para gráfico sem plotar pontos.
Perguntas frequentes
Por que a = 0 retorna null?▾
Quando a = 0, a equação reduz para bx + c = 0 (linear, não quadrática). A fórmula de Bhaskara tem 2a no denominador e dividiria por zero. Para equações lineares, x = −c / b. Use solver diferente.
O que é i (unidade imaginária)?▾
i = √-1 por definição. Permite representar soluções de equações sem solução real, ex: x² + 1 = 0 tem raízes x = ±i. Números reais estendem para números complexos (a + bi) para fechamento algébrico completo. A calc mostra raízes complexas quando Δ < 0.
Quem foi Bhaskara?▾
Bhaskara II, matemático indiano do século 12. A fórmula que leva seu nome no Brasil também era usada por outras civilizações antes (Diofanto, al-Khwarizmi). Fora do Brasil, a fórmula é só "fórmula quadrática" ou às vezes "método de Bhāskara".
Como fatorar uma quadrática sem usar Bhaskara?▾
Fatorar por inspeção: ax² + bx + c = a(x − r₁)(x − r₂) onde r₁ + r₂ = -b/a e r₁ × r₂ = c/a (relações de Vieta — soma e produto das raízes). Mais rápido que Bhaskara quando raízes são inteiras. Bhaskara é o fallback universal.
Por que a calc mostra coordenadas do vértice?▾
Muitos problemas pedem o vértice (máximo ou mínimo) junto com as raízes. Física: altura máxima de projétil. Negócios: lucro máximo na quantidade h. O vértice (h, k) é o extremo da parábola: h = -b/2a, k = c - b²/4a.
Fontes e referências
Confira cada número desta calculadora nas fontes primárias abaixo.
- ReferênciaBrasil Escola — Fórmula de Bhaskara
- ReferênciaKhan Academy Brasil — Equações quadráticas
- AcadêmicoWolfram MathWorld — Quadratic formula
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